【Édition People's Education Press】Mathématiques du collège, 7e année, semestre 2 : Passer de la ligne au plan : Comprendre les couples ordonnés

Imagine que tu cherches un siège dans une salle de cinéma. Si il n’y avait qu’une seule rangée (une dimension), un seul chiffre suffirait ; mais en réalité, les salles de cinéma ont plusieurs rangées et places (deux dimensions), donc tu dois connaître à la fois le numéro de rangée et celui de place. Si tu as le billet « rangée 3, place 5 » et que tu t’assieds à la « rangée 5, place 3 », c’est évidemment une erreur — c’est précisément cette rigueur qui définit le concept de « couple ordonné » en mathématiques et dans la vie réelle.

I. L’évolution logique du monde unidimensionnel au monde bidimensionnel

Un point sur une droite numérique est défini par un seul nombre réel, tandis qu’un point dans un plan occupe deux dimensions perpendiculaires. Après avoir établi un repère cartésien, pour tout point $M$ du plan, il existe un unique couple de nombres réels ordonnés $(x, y)$ correspondant à ce point ; inversement, pour tout couple ordonné $(x, y)$, il existe un unique point $M$ dans le plan qui lui correspond. Ce lien de correspondancecorrespondance biunivoqueforme la base de la pensée mathématique reliant nombre et figure.

Définition fondamentale

couple ordonné : un couple formé de deux nombres $a$ et $b$ ayant une certaine séquence, appelé couple ordonné, noté $(a, b)$.

Remarque importante

« Ordre » signifie que $(x, y) \neq (y, x)$ (sauf si $x = y$). L'ordre détermine la direction représentée par les chiffres (déplacement horizontal ou vertical).

II. Correspondance biunivoque bidirectionnelle

Cette correspondance garantit que les « nombres » peuvent décrire précisément la position des « figures », et que les « figures » reflètent visuellement les caractéristiques des « nombres », permettant ainsi de traiter algébriquement les figures géométriques du plan. Nous résumons cette relation comme suit :

Utiliser les nombres pour résoudre les figures : Calculer l'aire, le périmètre d'une figure ou déterminer ses relations de position à partir de ses coordonnées.
Utiliser les figures pour aider aux nombres : Observer une image pour comprendre intuitivement les propriétés d'une fonction ou les solutions d'une équation.

🎯 Règle fondamentale

Un point $P$ du plan $\longleftrightarrow$ un couple ordonné $(x, y)$.

Dans les coordonnées $(x, y)$, $x$ est l'abscisse et $y$ est l'ordonnée.

QUESTION 1

Qu'est-ce que le chiffre $5$ représente dans le couple ordonné $(5, 2)$ ?

La distance du point à l'axe des $x$

L'abscisse ($x$)

L'ordonnée ($y$)

La distance du point à l'origine

QUESTION 2

Si les sièges d'un cinéma sont représentés par un couple ordonné $(a, b)$, où $a$ indique le numéro de rangée et $b$ le numéro de place, alors $(3, 6)$ représente :

Rangée 6, place 3

Rangée 3, place 6

Entre la rangée 3 et la rangée 6

Un total de 9 sièges

QUESTION 3

La condition nécessaire et suffisante pour que les couples ordonnés $(m, n)$ et $(n, m)$ soient égaux est :

$m = 0$

$n = 0$

$m = n$

$m = -n$

QUESTION 4

Le point $P$ est sur l'axe des $x$ et distant de 4 unités de l'origine. Quelle est son ordonnée ?

$4$

$-4$

$0$

Impossible de déterminer

QUESTION 5

Le couple ordonné représentant l'origine $O$ est :

$(1, 1)$

$(0, 0)$

$(0, 1)$

$(1, 0)$

QUESTION 6

Dans un plan, combien de nombres réels sont nécessaires pour déterminer la position d'un point ?

Une infinité

QUESTION 7

Étant donné le point $A(2, 3)$, si on échange ses coordonnées abscisse et ordonnée pour obtenir le point $B$, quelle est la coordonnée de $B$ ?

$(2, 3)$

$(3, 2)$

$(-2, -3)$

$(3, -2)$

QUESTION 8

Laquelle des affirmations suivantes est correcte ?

$(2, 3)$ 和 $(3, 2)$ 表示同一个点

Les couples ordonnés ne peuvent représenter que des entiers

Les points du plan cartésien et les couples de nombres réels ordonnés sont en correspondance biunivoque

Il suffit d'un seul nombre pour déterminer la position d'un point

QUESTION 9

Si le couple ordonné $(x-1, 5)$ représente un point situé sur l'axe des $y$, quelle est la valeur de $x$ ?

$0$

$1$

$5$

$-1$

QUESTION 10

[Réponse courte] Tracez les points suivants dans le même repère cartésien et reliez-les successivement avec des segments. (1) $(2, 0), (4, 0), (2, 2), (2, 0)$ ; (2) $(0, 2), (0, 4), (-2, 2), (0, 2)$. Que remarques-tu ?

Formez deux triangles de même forme mais de positions différentes

Formez deux carrés

Formez deux lignes droites

Impossible de former une figure